环形跑道反向相遇求圈数（环形相遇）

题目

环形跑道周长 400 米，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，两人从同一点反向出发。

1. 两人首次相遇需要多久？
2. 第 5 次相遇时，甲跑了几圈？

最关键的思路

环形跑道上反向而行：每当两人合走 1 个周长，就相遇一次。

第 $n$ 次相遇，两人合走 $n$ 个周长——用「速度和」乘时间就能一路数下去。

反向出发相当于两人朝对方迎面跑，起跑那一刻还没相遇；合走满 1 圈追上第 1 次，满 2 圈第 2 次……时间是等间隔的。

交互演示

点「播放」，甲（橙）顺时针、乙（紫）逆时针从起点出发。盯住右侧「合走圈数」——它每涨 1，「已相遇」次数就 +1：

解答过程

第一步：求相遇的时间间隔。

反向而行，两人相向靠近，速度和为：

$$v_甲 + v_乙 = 5 + 3 = 8 \text{（米/秒）}$$

首次相遇即两人合走 1 个周长 400 米：

$$t_1 = 400 \div 8 = 50 \text{（秒）}$$

答案（1）：首次相遇需要 50 秒。

第二步：推广到第 5 次相遇。

反向相遇每隔一个周长发生一次，时间等间隔。第 $n$ 次相遇发生在：

$$t_n = 50n \text{（秒）}$$

所以第 5 次相遇在：

$$t_5 = 50 \times 5 = 250 \text{（秒）}$$

第三步：算甲跑的圈数。

250 秒内甲跑的路程：

$$5 \times 250 = 1250 \text{（米）}$$

换成圈数：

$$1250 \div 400 = 3\tfrac{1}{8} \text{（圈）}$$

答案（2）：第 5 次相遇时，甲跑了 $3\dfrac{1}{8}$ 圈（1250 米）。

验算

• 第 5 次相遇，两人合走 $5 \times 400 = 2000$ 米；用时 $2000 \div 8 = 250$ 秒 ✓
• 250 秒内乙跑 $3 \times 250 = 750$ 米；甲 1250 米 + 乙 750 米 = 2000 米，正好 5 个周长 ✓
• 甲 $1250 \div 400 = 3.125$ 圈，乙 $750 \div 400 = 1.875$ 圈，圈数和 $3.125 + 1.875 = 5$ ✓

易错点

• 别套用「追及」：同向出发才用速度差 $5-3=2$；反向出发是相向靠近，用速度和 $5+3=8$。
• 相遇次数别多算或少算 1：反向从同一点出发，起跑瞬间不算相遇，第 $n$ 次就是合走第 $n$ 个周长，$t_n = 50n$，无需 $\pm 1$。（若在环形上同向追及，则每追上 1 个周长相遇一次，用速度差。）

方法总结

环形相遇先分「反向」还是「同向」，再数「合走 / 多走」了几个周长：

情形	每相遇一次	第 $n$ 次相遇时间
反向（相向）	两人合走 1 个周长，用速度和	$t_n = \dfrac{nC}{v_甲+v_乙}$
同向（追及）	快者多走 1 个周长，用速度差	$t_n = \dfrac{nC}{v_甲-v_乙}$

求某人圈数：先求相遇时刻 $t_n$，再用「该人速度 × $t_n$ ÷ 周长」。