分批出发求总人数（倒推还原）

题目

公司组织员工到三亚旅游。第一批出发的人数是总人数的 $\dfrac{1}{2}$ 又 3 人；第二批出发的人数是第一批走后剩下人数的 $\dfrac{1}{3}$ 又 4 人；第三批出发的人数是第二批走后剩下人数的 $\dfrac{3}{4}$ 又 6 人，正好全部去完。这个公司总人数是多少？

最关键的思路

正着算分数很难，倒着从最后一批往回推最省事。

每一批的规律都一样：走「剩下的几分之几」再加几个人。既然最后「正好全部去完」，终点状态是已知的（0 人），那就从第三批开始往回推。

交互演示：一步步倒推

点「下一步」，看每一步如何从「走完」倒推回总人数：

解答过程

第一步：从第三批倒推。 设「第二批走后剩下」为一整块。第三批走了这块的 $\dfrac{3}{4}$ 又 6 人后一个不剩，说明：

$$\text{剩下的 } \frac{1}{4} = 6 \text{ 人} \implies \text{第二批走后剩下} = 6 \times 4 = 24 \text{ 人}$$

第二步：倒推第二批。 第二批走了「第一批走后剩下」的 $\dfrac{1}{3}$ 又 4 人，走后剩 24 人：

$$\text{这块的 } \frac{2}{3} = 24 + 4 = 28 \text{ 人} \implies \text{第一批走后剩下} = 28 \div \frac{2}{3} = 42 \text{ 人}$$

第三步：倒推第一批。 第一批走了总人数的 $\dfrac{1}{2}$ 又 3 人，走后剩 42 人：

$$\text{总数的 } \frac{1}{2} = 42 + 3 = 45 \text{ 人} \implies \text{总人数} = 45 \times 2 = 90 \text{ 人}$$

顺着验算

用 90 人从头走一遍，看是否正好去完：

批次	计算	走后剩下
第一批	$90 \times \frac{1}{2} + 3 = 48$	$90 - 48 = 42$
第二批	$42 \times \frac{1}{3} + 4 = 18$	$42 - 18 = 24$
第三批	$24 \times \frac{3}{4} + 6 = 24$	$24 - 24 = 0$ ✓

答案：公司总人数 90 人。

方法总结

倒推还原的固定套路，每一层都是同一句话：

1. 剩下部分 + 多走的人 = 这块的「剩余分数」
2. 用除法把「几分之几」还原成整块
3. 一层层往上，直到还原出总数
4. 最后一定正着验算——倒推容易在某一层算反，验算一遍才踏实