技术改进后效率提高百分之几（设数法）

题目

（2025 陕西 TYZ）某厂改进生产技术后，生产人员减少 $\dfrac{1}{5}$，而生产量却增加了 40%。那么改进技术后的生产效率，比改进前提高了百分之几？

最关键的思路

效率 = 产量 ÷ 人数。 题目没给具体数，就大胆「设数」：把原人数、原产量都设为方便的数（甚至都设成 1），前后各算一次效率再比较。

「提高百分之几」永远是：$(\text{新} - \text{旧}) \div \text{旧}$——除以的是改进前的效率。

解答过程

设数：原来人数为 1，产量也为 1，则原效率为：

$$1 \div 1 = 1$$

第一步：改进后的人数和产量。

$$\text{人数} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}, \qquad \text{产量} = 1 + 40\% = 1.4$$

第二步：改进后的效率。

$$1.4 \div \frac{4}{5} = 1.4 \times \frac{5}{4} = 1.75$$

第三步：比改进前提高的百分数。

$$(1.75 - 1) \div 1 = 75\%$$

答案：改进后的生产效率比改进前提高了 75%。

验算（换一组数）

设原来 100 人、日产 100 件，人均 1 件：改后 80 人、日产 140 件，人均 $140 \div 80 = 1.75$ 件，提高 $0.75 \div 1 = 75\%$ ✓——设什么数结果都一样，这正是设数法可靠的原因。

易错点

• 别把 40% 和 1/5 直接相加减：效率是「商」，人数减、产量增对效率的影响要相除才能合并
• 「提高百分之几」的分母是旧效率，不是新效率

方法总结

1. 只给「变化率」不给具体数的题，设数法最直观；设 1 或设 100 都行，结论与设数无关
2. 效率类问题先写清定义式（效率 = 产量 ÷ 人数），再把每个变化套进去
3. 增减百分比的合并规律：$\dfrac{1+40\%}{1-\frac{1}{5}} = \dfrac{1.4}{0.8} = 1.75$，即变化率相除而非相加