长宽各增求原面积（周长方程）

题目

一个长方形草坪的周长是 100 米。如果长增加 $\dfrac{1}{3}$ ，宽增加 $\dfrac{1}{4}$ ，那么周长增加 30 米。这个长方形草坪原来的面积是多少平方米？

周长的一半 = 长 + 宽。两个条件都翻译成「长与宽」的式子：

① $长 + 宽 = 50$

② 长的增量 $\dfrac{长}{3}$ 加宽的增量 $\dfrac{宽}{4}$ ，让半周长增加了 $30 \div 2 = 15$ 米

注意周长增加 30 米，长和宽（各算一条边）合计只增加 15 米——别忘了除以 2，这是本题最大的坑。

设原来长为 $a$ 米、宽为 $b$ 米。

第一步：由原周长得半周长。

a + b = 100 \div 2 = 50 \quad (1)

第二步：由周长增量列第二条方程。

长增加 $\dfrac{a}{3}$ 、宽增加 $\dfrac{b}{4}$ ，周长增加 30 米即半周长增加 15 米：

\frac{a}{3} + \frac{b}{4} = 15 \quad (2)

第三步：解方程组。 (2) 式两边乘 12：

4a + 3b = 180 \quad (2')

(1) 式乘 3： $3a + 3b = 150$ ，与 $(2')$ 相减：

a = 30 \implies b = 50 - 30 = 20

第四步：求原面积。

30 \times 20 = 600 \text{（平方米）}

答案：这个长方形草坪原来的面积是 600 平方米。

原周长： $(30+20) \times 2 = 100$ 米 ✓
新长 $30 \times \dfrac{4}{3} = 40$ ，新宽 $20 \times \dfrac{5}{4} = 25$ ，新周长 $(40+25) \times 2 = 130$ ，增加 30 米 ✓