两车间对调求原有人数（倒推还原）

题目

甲、乙两个车间人数不等。如果从甲车间调走 $\dfrac{1}{5}$ 到乙车间，再从乙车间现有人数中调走 $\dfrac{1}{4}$ 给甲车间，这时两个车间的人数都是 180 人。甲、乙两车间原来各有多少人？

最关键的思路

结果已知（各 180 人），操作有先后——从最后一步倒着撤销。

倒推口诀：调动后剩下的，是「调动前 × (1 − 分率)」；反过来除回去就是调动前。

注意第二次调动的分率 $\dfrac{1}{4}$ 是对乙车间当时的人数（已收到甲的人）说的，倒推时要先还原这一步。

解答过程

第一步：撤销「乙调 $\dfrac{1}{4}$ 给甲」。

乙调走 $\dfrac{1}{4}$ 后剩 180 人，所以调动前（即收到甲的人之后）：

$$\text{乙}_{\text{中}} = 180 \div \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 240 \text{（人）}$$

这次调给甲的人数：$240 - 180 = 60$ 人。甲收到 60 人后是 180 人，所以收到前：

$$\text{甲}_{\text{中}} = 180 - 60 = 120 \text{（人）}$$

第二步：撤销「甲调 $\dfrac{1}{5}$ 到乙」。

甲调走 $\dfrac{1}{5}$ 后剩 120 人：

$$\text{甲}_{\text{原}} = 120 \div \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 150 \text{（人）}$$

调到乙的人数：$150 - 120 = 30$ 人。乙收到 30 人后是 240 人，所以：

$$\text{乙}_{\text{原}} = 240 - 30 = 210 \text{（人）}$$

答案：甲车间原来有 150 人，乙车间原来有 210 人。

正着验算

步骤	甲	乙
原来	150	210
甲调走 $\frac{1}{5}$（30 人）到乙	120	240
乙调走 $\frac{1}{4}$（60 人）给甲	180	180 ✓

人数总和 $150 + 210 = 180 \times 2 = 360$ 始终不变 ✓

易错点

• $\dfrac{1}{4}$ 的单位「1」是乙现有人数（240），不是乙原来的人数——顺着做、倒着推都要盯紧每个分率对应的基准
• 倒推顺序与操作顺序相反：后发生的先撤销

方法总结

1. 「几次调动 + 最终结果已知」= 倒推还原的标准题型，从最后一步逆序撤销
2. 每一步「调走 $\dfrac{m}{n}$ 后剩 $R$」→ 调动前 $= R \div \left(1-\dfrac{m}{n}\right)$；收到的一方直接加减调动人数
3. 总人数是不变量，每一步核对总和，错在哪一层马上暴露