两次迎面相遇求速度（相遇往返）

题目

A、B 两地相距 13.5 千米，甲、乙两人分别由 A、B 两地同时出发相向而行，各在 A、B 之间往返一次，甲比乙先返回原地。途中两人第一次迎面相遇于点 C，第二次迎面相遇于点 D。已知两次相遇的时间间隔为 3 小时 20 分，C、D 相距 3 千米。求甲、乙的速度。

最关键的规律

第一次迎面相遇，两人合走 1 个全程；第二次迎面相遇，两人合走 3 个全程。

所以两次相遇之间，两人恰好又合走了 2 个全程。

这是往返相遇问题的核心。想不通就看下面的动画——盯着「合走全程数」那个数字。

动画演示

点「播放」，甲（橙）从 A、乙（紫）从 B 出发。两次迎面相遇会自动标出 C、D：

解答过程

第一步：用时间间隔求速度和。

两次相遇之间合走 2 个全程：

$$2 \times 13.5 = 27 \text{（千米）}$$

3 小时 20 分 = $\dfrac{10}{3}$ 小时，所以：

$$v_甲 + v_乙 = 27 \div \frac{10}{3} = 8.1 \text{（千米/时）}$$

顺便可得：第一次相遇合走 1 个全程，用时 $13.5 \div 8.1 = \dfrac{5}{3}$ 小时；第二次相遇在出发后 $\dfrac{5}{3} + \dfrac{10}{3} = 5$ 小时。

第二步：用 CD = 3 建立方程。

设甲的速度为 $v$ 千米/时。

• C 点（第一次相遇处）距 A：甲走了 $\dfrac{5}{3}v$ 千米
• D 点（第二次相遇处）距 A：出发 5 小时甲共走 $5v$ 千米。此时甲已从 B 端折返（走的路程在 1～2 个全程之间），距 A 为 $27 - 5v$ 千米

由 $CD = 3$：

$$\left| \frac{5}{3}v - (27 - 5v) \right| = 3 \implies \left| \frac{20}{3}v - 27 \right| = 3$$

解得 $v = 4.5$ 或 $v = 3.6$。

第三步：用「甲先返回」定取舍。

甲比乙先返回原地，说明甲更快，取 $v_甲 = 4.5$ 千米/时，则：

$$v_乙 = 8.1 - 4.5 = 3.6 \text{（千米/时）}$$

答案：甲的速度为 4.5 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。

验算

• 第一次相遇：$\dfrac{5}{3}$ 小时，甲走 $4.5 \times \dfrac{5}{3} = 7.5$ 千米，C 距 A 7.5 千米
• 第二次相遇：5 小时，甲共走 22.5 千米，折返后距 A $27 - 22.5 = 4.5$ 千米，D 距 A 4.5 千米
• $CD = 7.5 - 4.5 = 3$ 千米 ✓；两次间隔 $5 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{3}$ 小时 = 3 小时 20 分 ✓
• 甲往返用时 $27 \div 4.5 = 6$ 小时 < 乙的 $27 \div 3.6 = 7.5$ 小时，甲确实先返回 ✓

方法总结

1. 迎面相遇看合走路程：第 $n$ 次迎面相遇，合走 $(2n-1)$ 个全程——「间隔时间」配「2 个全程」直接给出速度和
2. 相遇点位置 = 其中一人走的路程（折返要用 $2L -$ 路程换算），把几何条件 CD 翻译成方程
3. 绝对值方程有两解时，用题目里的附加条件（谁先返回 = 谁快）取舍