捐书打包求总本数（翻倍消分数）

题目

某校捐书，准备将一批书打包，每包书的数目相等。第一次领来这批书的 $\dfrac{2}{3}$，结果打了 16 个包还多 40 本；第二次把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 9 个包。这批书共有多少本？

最关键的思路

把两次的情况都用「包数 + 零头」写出来（设每包 $p$ 本）：

第一次：总数的 $\dfrac{2}{3}$ = 16 包 + 40 本

第二次：总数的 $\dfrac{1}{3}$ + 40 本 = 9 包

分数 $\dfrac{2}{3}$ 和 $\dfrac{1}{3}$ 正好差一倍——把第二行整体翻倍，两行的「总数的 $\dfrac{2}{3}$」就相同了，一比对，每包多少本立刻现形。

示意图：翻倍再对比

解答过程

设每包 $p$ 本，这批书共 $T$ 本。

第一步：把两次打包翻译成式子。

第一次领来 $\dfrac{2}{3}T$，打 16 包多 40 本：

$$\frac{2}{3}T = 16p + 40 \quad (1)$$

第二次取来剩下的 $\dfrac{1}{3}T$，加上第一次多出的 40 本，恰好 9 包：

$$\frac{1}{3}T + 40 = 9p \quad (2)$$

第二步：(2) 式翻倍，消去分数。

$$\frac{2}{3}T + 80 = 18p \quad (2')$$

第三步：(2′) − (1)，求每包本数。

$$(18p) - (16p + 40) = 80 \implies 2p = 120 \implies p = 60$$

第四步：求总数。

$$\frac{2}{3}T = 16 \times 60 + 40 = 1000 \implies T = 1000 \times \frac{3}{2} = 1500 \text{（本）}$$

答案：这批书共有 1500 本。

验算

• 第一次：$1500 \times \dfrac{2}{3} = 1000 = 16 \times 60 + 40$ ✓
• 第二次：剩 $500$ 本，加上多出的 $40$ 本得 $540 = 9 \times 60$，刚好 9 包 ✓

方法总结

1. 「若干包 + 零头」的打包问题，先统一设每包 $p$ 本，把每句话翻译成一条式子
2. 两条式子里的分率成倍数关系（$\dfrac{2}{3}$ 与 $\dfrac{1}{3}$）时，整体翻倍对齐再相减，未知的总数直接消掉——和工程题里「两个追平点相减消 $S$」是同一招
3. 求出每包本数后，回到分率完整的那条式子还原总数