等高模型求平行四边形面积

题目

如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形， $E$ 为 $BD$ 的中点， $C$ 、 $G$ 、 $F$ 、 $B$ 四点在同一直线上，且

CG = GF = FB

三角形 $EGF$ 的面积为 3 平方厘米。平行四边形 $ABCD$ 的面积是多少平方厘米？

等高模型：两个三角形高相同时，面积比 = 底之比。

这道题连用两次「比例转移」：

点「下一步」，跟着图形看每一次面积转移：

第 1 步 / 共 4 步：认识图形

平行四边形 ABCD 中，E 是对角线 BD 的中点，G、F 把底边 CB 三等分（CG = GF = FB）。已知阴影三角形 EGF 的面积是 3 平方厘米。

第一步：△EGF → △ECB（等高，底 3 倍）。

△EGF 与 △ECB 的顶点都是 $E$ ，底 $GF$ 、 $CB$ 都在直线 $CB$ 上，所以两个三角形的高相同（都是 $E$ 到直线 $CB$ 的距离）。

由 $CG = GF = FB$ 得 $CB = 3\,GF$ ，等高三角形面积比等于底之比：

S_{\triangle ECB} = 3 \times S_{\triangle EGF} = 3 \times 3 = 9 \text{（平方厘米）}

第二步：△ECB → 平行四边形（中点定高）。

设平行四边形的底为 $CB$ 、高为 $h$ （即 $D$ 到直线 $CB$ 的距离）。

$E$ 是 $BD$ 的中点：沿着线段 $BD$ 从 $B$ （在直线 $CB$ 上，高为 0）走到 $D$ （高为 $h$ ），走到一半时高度正好是一半，所以 $E$ 到直线 $CB$ 的距离为 $\dfrac{h}{2}$ 。

S_{\triangle ECB} = \frac{1}{2} \times CB \times \frac{h}{2} = \frac{1}{4} \times CB \times h = \frac{1}{4} \, S_{\text{▱} ABCD}

第三步：得出答案。

S_{\text{▱} ABCD} = 4 \times S_{\triangle ECB} = 4 \times 9 = 36 \text{（平方厘米）}

答案：平行四边形 $ABCD$ 的面积是 36 平方厘米。

反着走一遍：平行四边形面积 36 → △ECB = 36 ÷ 4 = 9（底同为 $CB$ ，高减半再乘 $\frac{1}{2}$ ）→ △EGF = 9 ÷ 3 = 3（等高，底是 $\frac{1}{3}$ ）✓，与已知吻合。