「纯数」的个数（新定义问题）

题目

在数学学习过程中，我们会对一些具有某种特性的数进行研究，如奇数、偶数、质数、合数等。现在研究一种特殊的自然数——「纯数」。

定义：对于自然数 $n$ ，在用竖式计算 $n + (n+1) + (n+2)$ 时，如果各位都不产生进位现象，则称自然数 $n$ 为「纯数」。

例如：32 是「纯数」，因为计算 $32+33+34$ 时各位都不进位；33 不是「纯数」，因为计算 $33+34+35$ 时个位产生了进位。

回答下列问题：

新定义问题的套路：把定义翻译成对每一位数字的限制。

设 $n$ 的个位是 $u$ 。三个连续数的个位分别是 $u$ 、 $u+1$ 、 $u+2$ （若 $u\le 7$ ），相加得 $3u+3$ ；其余每一位三个数都相同（记作 $d$ ），相加得 $3d$ 。各位都不进位要求：

个位： $3u + 3 \le 9 \implies u \le 2$

其余各位： $3d \le 9 \implies d \le 3$

反过来，个位 $u\le 2$ 时三个加数不会在任何一位「变身」（不发生 $u+1$ 、 $u+2$ 的进位），所以这两条就是纯数的充要条件。

输入任意 $n$ （或点预设按钮），逐位看有没有进位：

试一个数 n =

  32
  33
+ 34
────
  99

逐位检查（3 个数对应位相加）：

十位

3+3+3 = 9

不进位 ✓

个位

2+3+4 = 9

不进位 ✓

32 是「纯数」：各位相加都不进位

规律：个位是 u，相加得 u + (u+1) + (u+2) = 3u + 3，要不进位需 3u + 3 ≤ 9，即个位 ≤ 2；其余每一位是 d，三个数该位相同，相加得 3d，要 3d ≤ 9，即该位 ≤ 3。

第 1 问：1949 到 2020 之间的纯数。

用「个位 ≤ 2、其余各位 ≤ 3」逐段扫：

19xx：千位 1 ✓、百位 9 ✗——19 开头的全部淘汰
20xx：千位 2 ✓、百位 0 ✓，十位需 ≤ 3 且个位 ≤ 2：
- 十位 0：2000、2001、2002
- 十位 1：2010、2011、2012
- 十位 2：2020（2021、2022 超出范围）

\boxed{2000,\ 2001,\ 2002,\ 2010,\ 2011,\ 2012,\ 2020} \quad \text{共 7 个}

第 2 问：不大于 100 的纯数个数。

一位数（含 0）：只需 $u \le 2$ ，即 $0, 1, 2$ —— 3 个
两位数：十位 $d \in \{1,2,3\}$ ，个位 $u \in \{0,1,2\}$ —— $3 \times 3 = 9$ 个（10,11,12,20,21,22,30,31,32）
100：百位 1 ✓、十位 0 ✓、个位 0 ✓，验证 $100+101+102=303$ 各位不进位 —— 1 个

3 + 9 + 1 = 13 \text{（个）}

答案：第 1 问共 7 个（2000、2001、2002、2010、2011、2012、2020）；第 2 问不大于 100 的纯数有 13 个。

$2012 + 2013 + 2014 = 6039$ ：个位 $2+3+4=9$ 不进位，十位 $3\times1=3$ ，百位 0，千位 $3\times2=6$ ✓ 纯数
$33+34+35$ ：个位 $3+4+5 = 12$ 进位 ✗，与题给示例一致
$40+41+42$ ：十位 $3\times4=12$ 进位 ✗——十位 ≤ 3 的限制是必要的