正方体截角求顶点数（顶点增补法）

题目

一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有多少个顶点？

最关键的思路

截去一个角，本质是「削掉 1 个旧顶点，换上 3 个新顶点」——从这个角出发的 3 条棱各被刀口切出 1 个新交点，这 3 个新点连成一个小三角形截面，把原来尖尖的角削平了。

示意图

解答过程

第一步：看清原来的结构。

正方体有 8 个顶点，每个顶点处恰好有 3 条棱相交（对应 3 个面角）。

第二步：分析截去一个角时顶点的增减。

刀口横切过这个顶点发出的 3 条棱，结果是：

• 减少：原来这 1 个顶点被削掉；
• 增加：3 条棱各多出 1 个新的交点，即新增 3 个顶点；这 3 个新点两两相连，正好组成一个新的三角形截面，其余 7 个原顶点不受影响。

第三步：算总数。

$$8 - 1 + 3 = 10$$

所得的几何体共有 10 个顶点。

验算

用欧拉公式 $V - E + F = 2$ 交叉核对。

原正方体：$V=8,\ E=12,\ F=6$，$8-12+6=2$ ✓。

截角后：

• 顶点 $V = 10$（如上）；
• 棱数：原来 12 条棱都还在（只是被切的 3 条变短了，条数不变），新增新三角形截面的 3 条边，$E = 12 + 3 = 15$；
• 面数：原来 6 个面中有 3 个面因为角被削掉一小块，从正方形变成五边形，但仍各算 1 个面；再加上新增的 1 个三角形截面，$F = 6 + 1 = 7$。

代入检验：

$$V - E + F = 10 - 15 + 7 = 2 \ \checkmark$$

与欧拉公式完全吻合，顶点数 10 正确。

易错点

• 只想到「少了 1 个顶点」，漏算新增的 3 个交点，误答 7。
• 把「顶点」和「棱」的变化搞混，误以为棱数也要减少。

方法总结

1. 处理「切/截」类立体几何计数题，先看清楚被切掉的是一个角（顶点）、一条棱，还是一个面——三种情况对顶点、棱、面数的影响完全不同。
2. 截去一个角：顶点数 $-1+3$，棱数 $+3$（原棱数不变），面数 $+1$（新增截面）。
3. 算完之后用欧拉公式 $V-E+F=2$ 复核，是立体几何计数题最可靠的检查工具。