正方体截面画在展开图上（对应点还原法）

题目

如图，左边立体图形中，正方体 $ABCD$ - $EFGH$ （上底面 $ABCD$ ，下底面 $EFGH$ ， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别与 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 上下对应）被平面 $APQC$ 所截， $P$ 是棱 $EF$ 上的点， $Q$ 是棱 $FG$ 上的点。请在右边的展开图中画出四边形 $APQC$ 的四条边 $AP$ 、 $PQ$ 、 $QC$ 、 $CA$ 。

最关键的思路

展开图上的每一个小正方形都是正方体的一个面。要画出截面的边，不需要整体想象折叠，只需要一条一条看：线段 $AP$ 、 $PQ$ 、 $QC$ 、 $CA$ 各自落在正方体的哪一个面上，就在展开图里对应的那个小正方形内，把两个端点连起来即可。

四条边正好分布在 4 个不同的面上，展开后就是 4 条互不相连的线段——这是正常的，因为纸摊平后，原来靠折痕连在一起的边会被"拉开"。

解答过程

第一步：认出每条边所在的面。

正方体六个面：上底面 $ABCD$ 、下底面 $EFGH$ 、前面 $ABFE$ 、后面 $DCGH$ 、左面 $ADHE$ 、右面 $BCGF$ 。

逐条边判断：

$CA$ ： $C$ 、 $A$ 都是上底面 $ABCD$ 的顶点 → $CA$ 是上底面的对角线。
$AP$ ： $A$ 在前面 $ABFE$ （ $A$ 是前面顶点）， $P$ 在棱 $EF$ 上， $EF$ 正好是前面的一条边 → $AP$ 落在前面内。
$PQ$ ： $P$ 在棱 $EF$ 上， $Q$ 在棱 $FG$ 上， $EF$ 、 $FG$ 都是下底面 $EFGH$ 的边 → $PQ$ 落在下底面内。
$QC$ ： $Q$ 在棱 $FG$ 上（ $FG$ 是右面的边）， $C$ 是右面 $BCGF$ 的顶点 → $QC$ 落在右面内。

第二步：在对应的展开图小正方形里描点连线。

展开图里六个小正方形分别对应六个面（对照下方展开图）：

中间横排从左到右依次是：上底面 $ABCD$ （对应 $B,A,C,D$ ）→ 左面 $ADHE$ （对应 $A,E,D,H$ ）→ 下底面 $EFGH$ （对应 $E,F,H,G$ ）→ 右面 $BCGF$ （对应 $F,B,G,C$ ）；
下底面正方形正上方多出的那格是后面 $DCGH$ ；正下方多出的那格是前面 $ABFE$ 。

$P$ 、 $Q$ 的位置由棱上的原始比例决定，展开后位置不变（展开图不改变每条棱上的比例关系）： $P$ 落在下底面正方形的下边（ $EF$ 边）上， $Q$ 落在下底面正方形的右边（ $FG$ 边）上。

对应画法：

$CA$ ：在最左边"上底面"格子里，连接左上角 $C$ 到右下角 $A$ （一条对角线）。
$AP$ ：在下方"前面"格子里，从左下角 $A$ 连到上边上的点 $P$ 。
$PQ$ ：在中间"下底面"格子里，从下边上的点 $P$ 连到右边上的点 $Q$ （折线转角处，靠近 $F$ 角）。
$QC$ ：在最右边"右面"格子里，从左边上的点 $Q$ 连到右上角 $C$ 。

示意图

（灰底两格是上下加出来的「后面」「前面」；橙色线依次是 $CA$ （上底面对角线）、 $AP$ （前面内）、 $PQ$ （下底面内，靠近 $F$ 角的短转折）、 $QC$ （右面内）。）

验算

用「共享边比例一致」来检查： $P$ 是棱 $EF$ 上的一点，它在展开图里出现在两处——下底面格子的下边、前面格子的上边。这两处其实是同一条棱 $EF$ 展开后的两条边，只要 $P$ 在这两处到 $E$ 的距离占边长的比例相同，说明画对了。 $Q$ 同理，检查下底面格子右边与右面格子左边上、 $Q$ 到 $F$ 的比例是否一致。

再从整体折一遍看看：把六个格子按折痕折回正方体， $C$ （上底面格子左上角）与 $C$ （右面格子右上角）应该重合到同一个顶点， $A$ （上底面格子右下角）与 $A$ （前面格子左下角）应该重合——折回去后 $CA$ 、 $AP$ 、 $PQ$ 、 $QC$ 首尾相接，正好围成题目给出的四边形 $APQC$ ，与左边的立体图一致。

易错点

直接照抄立体图里线段的"长相"画到展开图上，而不是先判断每条边具体落在哪个面内——展开图里同一条边在不同面上的方向可能完全不同。
忘记一个顶点在展开图中可能重复出现（如 $A$ 、 $C$ 各出现两次），连错到了同名但位置不对的那个点上。
把 $PQ$ 错连成一条直的对角线，而忽略了 $P$ 、 $Q$ 分别在下底面正方形的两条不同边（下边和右边）上，连线其实是靠近 $F$ 角的一条短斜线。

方法总结

展开图问题的核心是"面对面"：先确定线段的两个端点落在正方体的同一个面上，再去对应的小正方形里连线，而不要试图整体挪动或想象折叠过程。
正方体的顶点在展开图中通常会重复出现（一个顶点属于几个面，就出现几次），画图时要选对当前这条线段所在面里的那一个。
棱上的分点（如 $P$ 、 $Q$ ）在展开图中出现的两个位置，到共享顶点的比例必须一致——这是检验展开图画得对不对的直接方法。