分糖果求全班人数（因数与余数）

题目

六（5）班新年晚会上，老师将 310 块糖果分给班里的同学。如果每位同学分得相同数量的糖果，则余下 37 块，且不能继续平均分。全班至少有多少名同学？

最关键的思路

题目翻译成算式：$310 \div \text{人数} = \text{每人几块} \cdots\cdots 37$。两个隐藏条件：

① 被分掉的糖果 $310 - 37 = 273$ 能被人数整除 → 人数是 273 的因数

② 「余下 37 块且不能继续平均分」→ 余数必须小于除数，人数 > 37

解答过程

第一步：求实际分掉的糖果。

$$310 - 37 = 273 \text{（块）}$$

第二步：分解 273，列出所有因数。

$$273 = 3 \times 7 \times 13$$

因数有：$1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ 39,\ 91,\ 273$。

第三步：用「余数 < 除数」筛选。

人数必须大于 37（否则那 37 块还能每人再分 1 块），满足的因数只剩：

$$39,\ 91,\ 273$$

第四步：取最小。 题目问「至少」，且 91、273 远超一个班的常理人数：

$$\boxed{39}$$

答案：全班至少有 39 名同学。

验算

$310 \div 39 = 7 \cdots\cdots 37$：每人 7 块，余 37 块；$37 < 39$，确实不能再平均分 ✓

若取 21（273 的因数但 < 37）：$310 \div 21 = 14 \cdots\cdots 16$，余数不是 37，果然不符合题意 ✓

方法总结

1. 带余除法 $a \div b = q \cdots\cdots r$ 的两个铁律：$a - r$ 能被 $b$ 整除；$r < b$。第二条最容易被忽略，也是这题的「筛子」
2. 「不能继续平均分」就是在强调 $r < b$——出题人把铁律写成了题干条件
3. 短除分解质因数后，因数按从小到大成对写（$1 \times 273,\ 3 \times 91,\ 7 \times 39,\ 13 \times 21$），不易漏