三等分点求阴影面积（底高模型 + 沙漏模型）

题目

如图，在三角形 $ABC$ 中，$D$、$E$ 为 $BC$ 边上的点，且 $BD = DE = EC$；$F$、$G$ 为 $AC$ 边上的点，且 $AF = FG = GC$。三角形 $ABC$ 的面积为 2，则图中阴影部分（四边形 $PECG$，$P$ 为 $AE$ 与 $BG$ 的交点）的面积是多少？

最关键的思路

连接 $EG$，发现一个隐藏结构：$CE : CB = CG : CA = 1 : 3$，所以 $EG \parallel AB$，且 $EG = \dfrac{1}{3} AB$。

有了这条平行线：① $\triangle CEG$ 用底高模型直接算（底、高都是原来的 $\frac{1}{3}$）；② $AE$、$BG$ 与两条平行线构成沙漏（8 字）模型，交点 $P$ 的位置立刻确定。

把阴影沿 $EG$ 切成 $\triangle GEC$ 和 $\triangle PEG$ 两块，分头算。

示意图

（$AD$、$BF$ 是原图中的辅助线，与阴影无关；围出阴影的是 $AE$ 和 $BG$。虚线 $EG$ 是我们添加的关键辅助线。）

解答过程

第一步：底高模型算 $\triangle CEG = \dfrac{2}{9}$。

以 $EC$ 为底：$EC = \dfrac{1}{3} BC$；$G$ 在 $AC$ 上且 $CG = \dfrac{1}{3}CA$，所以 $G$ 到 $BC$ 的距离是 $A$ 的高的 $\dfrac{1}{3}$。底、高各缩成 $\dfrac{1}{3}$：

$$S_{\triangle CEG} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABC} = \frac{2}{9}$$

顺带得到：$\triangle CEG$ 与 $\triangle CBA$ 两边成比例且夹角相同，故 $EG \parallel AB$，$EG = \dfrac{1}{3} AB$。

第二步：沙漏模型定出 $P$。

$EG \parallel AB$，$AE$ 与 $BG$ 是两条「对角线」，构成沙漏：$\triangle PEG \sim \triangle PAB$，相似比 $= EG : AB = 1 : 3$，所以：

$$PE : PA = 1 : 3 \implies PE = \frac{1}{4} AE$$

第三步：算 $\triangle PEG = \dfrac{1}{9}$。

先算 $\triangle AEG$。$\triangle AEC$ 以 $EC$ 为底、与 $\triangle ABC$ 同高：$S_{\triangle AEC} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}$，减去 $\triangle GEC$：

$$S_{\triangle AEG} = \frac{2}{3} - \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$$

$\triangle PEG$ 与 $\triangle AEG$ 同以 $EG$ 方向看是共高、底在 $AE$ 上（$PE = \frac{1}{4}AE$）：

$$S_{\triangle PEG} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$$

第四步：合并。

$$S_{\text{阴影}} = S_{\triangle GEC} + S_{\triangle PEG} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$$

答案：阴影部分的面积是 $\dfrac{1}{3}$。

验算（换一种拆法）

阴影也等于 $\triangle GBC - \triangle PBE$：

• $\triangle GBC$：底 $BC$，高是 $A$ 高的 $\dfrac{1}{3}$ → $\dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}$
• $\triangle PBE$：底 $BE = \dfrac{2}{3}BC$；$P$ 在 $AE$ 上且 $PE = \dfrac{1}{4}AE$，高是 $A$ 高的 $\dfrac{1}{4}$ → $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{3}$

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ✓ \quad \text{两种拆法一致}$$

方法总结

1. 底高模型：三角形的底、高各自按比例缩放，面积按两比例的乘积缩放——$\triangle CEG$ 一步得 $\dfrac{1}{9}S$
2. 见到「两边上的等分点」先连出平行线（对应边成比例 ⇒ 平行），平行线一出，沙漏（8 字）模型跟着就来：交点分线段的比 = 两条平行底之比
3. 不规则阴影沿辅助线拆成「好算的三角形」，算完务必换一种拆法验算，两条路径同一个答案才踏实