甲乙丙先后出发——甲多久追上乙

题目

有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从 A 地开往 B 地。乙比丙晚出发 10 分钟，出发后 40 分钟追上丙；甲比乙又晚出发 30 分钟，出发后 1 小时 40 分钟追上丙。问：甲出发后需要用多少分钟才能追上乙？

最关键的思路

三车同走一条路、只是出发时刻不同。以最早出发的丙为基准建一根统一时间轴，把每次"追上"翻译成同一时刻两车位置相等：

• 乙追上丙 → 那一刻乙走的路 = 丙走的路；
• 甲追上丙 → 那一刻甲走的路 = 丙走的路。

用这两条先求出三车速度之比，最后再解甲追乙。设丙速为 1 个单位最省事。

联动演示

以丙出发为 $t=0$。丙 $t=0$ 出发、乙 $t=10$、甲 $t=40$；拖动时间轴看三条线的交点——乙在 $t=50$ 追上丙，甲在 $t=140$ 追上丙，甲在 $t=290$ 追上乙：

解答过程

设丙的速度为 $c$，丙在 $t=0$ 出发。则乙在 $t=10$ 出发，甲在 $t=40$ 出发。

用"乙追上丙"求乙速 $b$。 乙出发后 40 分钟、即 $t=50$ 追上丙。此刻两车位置相等：

$$\underbrace{40b}_{\text{乙走的}} = \underbrace{50c}_{\text{丙走的}} \implies b = 1.25\,c$$

用"甲追上丙"求甲速 $a$。 甲出发后 100 分钟、即 $t=140$ 追上丙：

$$\underbrace{100a}_{\text{甲走的}} = \underbrace{140c}_{\text{丙走的}} \implies a = 1.4\,c$$

解甲追乙。 甲在 $t=40$ 出发、乙在 $t=10$ 出发，设在时刻 $t$ 甲追上乙：

$$\underbrace{a\,(t-40)}_{\text{甲走的}} = \underbrace{b\,(t-10)}_{\text{乙走的}}$$

代入 $a = 1.4c,\ b = 1.25c$（$c$ 约去）：

$$1.4(t-40) = 1.25(t-10)$$ $$1.4t - 56 = 1.25t - 12.5 \implies 0.15t = 43.5 \implies t = 290$$

这是从丙出发算起的时刻。甲在 $t=40$ 出发，所以甲出发后用时：

$$290 - 40 = 250 \text{（分钟）}$$

答案：甲出发后需要 250 分钟才能追上乙。

验算

取 $c=1$：$b=1.25$、$a=1.4$。在 $t=290$：

• 甲走 $1.4\times(290-40) = 1.4\times250 = 350$
• 乙走 $1.25\times(290-10) = 1.25\times280 = 350$

两者相等 ✓，甲确实在此刻追上乙。再核对前两问：乙 $40\times1.25=50=50\times1$ ✓，甲 $100\times1.4=140=140\times1$ ✓。

易错点

• "出发后 40 分钟"是相对各自出发时刻，落到统一时间轴上要加回出发延迟（乙的 $t=10+40=50$，甲的 $t=40+100=140$）。
• 最后解出的 $t=290$ 是"丙出发后"的时刻，题目问"甲出发后"，别忘了减去甲的延迟 40 分钟。
• 速度只需比例，设 $c=1$ 即可，不必求真实数值。

方法总结

1. 多人先后出发，选最早出发者为时间原点建统一时间轴，各人位置写成 $v\,(t-\text{出发时刻})$。
2. 每个"追上"= 同一时刻位置相等，逐条列方程；先求速度比，再解目标追及。
3. 答数注意参照的出发时刻，按题目要求换算回去。