一半模型求阴影面积（H 任意也不怕）

题目

如图，长方形 $ABCD$ 的面积是 56 平方厘米， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 边上的中点， $H$ 为 $AD$ 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

（图中 $A$ 左上、 $D$ 右上、 $B$ 左下、 $C$ 右下；连接 $HE$ 、 $HF$ 、 $HG$ 后，阴影是左下的四边形 $EBFH$ 和右上角的三角形 $HDG$ 两块。）

「任意一点」是提示不是刁难：答案与 $H$ 的位置无关。

阴影两块都以 $H$ 为顶点。把不规则的四边形 $EBFH$ 连 $BH$ 拆成两个三角形，每块的底都落在中点边上——底一半、高按 $H$ 的位置分，加总时 $H$ 的位置恰好被消掉。

拖动 $H$ ，左下四边形和右上三角形一个变大一个变小，总和纹丝不动：

拖动 H（在 AD 上）

四边形 EBFH + 三角形 HDG = 23.5 + 4.5 = 28 平方厘米

H 往右拖，四边形变大、右上角的三角形变小——一增一减正好抵消，总和始终是长方形的一半。

设长方形的长 $AD = a$ 、宽 $AB = b$ ，则 $ab = 56$ ；设 $AH = h$ （则 $HD = a - h$ ）。

第一步：连 $BH$ ，把四边形 $EBFH$ 拆成 △ $EBH$ + △ $BFH$ 。

第二步：逐块算。

△ $BFH$ ：底 $BF = \dfrac{a}{2}$ （ $F$ 是 $BC$ 中点），高 = $H$ 到 $BC$ 的距离 = $b$ （ $H$ 在顶边上）：

S_{\triangle BFH} = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times b = \frac{ab}{4} = 14 \text{（平方厘米）}

△ $EBH$ ：底 $EB = \dfrac{b}{2}$ （ $E$ 是 $AB$ 中点），高 = $H$ 到直线 $AB$ 的距离 = $AH = h$ ：

S_{\triangle EBH} = \frac{1}{2} \times \frac{b}{2} \times h = \frac{bh}{4}

△ $HDG$ ：两条直角边 $HD = a - h$ 、 $DG = \dfrac{b}{2}$ （ $G$ 是 $CD$ 中点）：

S_{\triangle HDG} = \frac{1}{2} \times (a - h) \times \frac{b}{2} = \frac{b(a-h)}{4}

第三步：加总， $h$ 消掉。

S_{\triangle EBH} + S_{\triangle HDG} = \frac{bh}{4} + \frac{b(a-h)}{4} = \frac{ab}{4} = 14 \text{（平方厘米）}

S_{\text{阴影}} = 14 + 14 = 28 \text{（平方厘米）}

答案：阴影部分的面积是 28 平方厘米（恰好是长方形的一半）。

$H$ 与 $D$ 重合（ $h = a$ ）：三角形 $HDG$ 消失；四边形变成 $EBFD$ ，拆成 △ $EBD$ （ $\frac{b}{2} \times a \times \frac{1}{2} = 14$ ）+ △ $BFD$ （ $\frac{a}{2} \times b \times \frac{1}{2} = 14$ ）= 28 ✓
$H$ 与 $A$ 重合（ $h = 0$ ）：△ $EBH$ 退化；△ $BFA = 14$ ，△ $ADG = \frac{a \times \frac{b}{2}}{2} = 14$ ，合计 28 ✓

两个极端位置都得 28，与一般证明一致。