正方体浸水求水面上升（未完全浸没！）

题目

直径为 12 cm、高为 9 cm 的圆柱形容器中装有高为 3 cm 的水，往容器中放入一个棱长为 6 cm 的正方体铁块，则圆柱形容器中水面上升了多少厘米？（$\pi$ 取 3）（7 分）

最关键的思路

排水法的老规矩是「浸没体积 = 上升水柱体积」，但这题有个陷阱：先检验正方体到底有没有被完全浸没！

假设完全浸没：正方体体积 $6^3 = 216$，容器底面积 $3 \times 6^2 = 108$，水面会升 $216 \div 108 = 2$ 厘米，变成 $3 + 2 = 5$ 厘米。可是 $5 < 6$（正方体的棱长）——水面还没过正方体的顶，假设矛盾，正方体没有被完全浸没。

没浸没时换个思路：设新水面高 $h$，水在「容器截面 − 正方体截面」的环形区域里，也可以直接用水的体积不变列方程。

动画演示

拖动滑块把正方体放到底，看水面最终停在哪里：

解答过程

第一步：算容器底面积和水的体积（$\pi$ 取 3）。

$$S_{\text{底}} = 3 \times 6^2 = 108 \text{（平方厘米）}, \qquad V_{\text{水}} = 108 \times 3 = 324 \text{（立方厘米）}$$

第二步：检验是否完全浸没（见上），结论：没有。

第三步：按「未完全浸没」列方程。

正方体坐底、顶部露出水面。设新水面高 $h$ 厘米，水占据的体积 = 容器柱体积 − 正方体在水下的部分：

$$108h - 6 \times 6 \times h = 324$$ $$72h = 324 \implies h = 4.5$$

第四步：求上升高度。

$$4.5 - 3 = 1.5 \text{（厘米）}$$

答案：水面上升了 1.5 厘米。

验算

• 水的体积：$(108 - 36) \times 4.5 = 72 \times 4.5 = 324$ ✓ 与放入前相同
• 合理性：$4.5 < 6$，正方体确实露头 ✓；$4.5 < 9$，不溢出 ✓

方法总结

1. 浸水题必做的第一步：假设完全浸没 → 算出新水面 → 与物体高度比较。矛盾就改按「部分浸没」处理
2. 部分浸没时水面高 = 水体积 ÷（容器底面积 − 物体底面积），前提是物体竖直坐底且顶部露出
3. 对比 7 月 16 日的圆锥浸没题（完全浸没）：同一模型的两种分支，检验步骤是分水岭