进货利润与打折反推（商品问题两问）

题目

某超市出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 20 元，售价 35 元；乙种商品每件进价 30 元，售价 50 元。（8 分）

(1) 若该超市同时购进甲、乙两种商品共 100 件，且使这 100 件商品全部售出后的总利润为 1800 元，需购进甲、乙两种商品各多少件？（利润 = 售价 − 进价）

(2) 在「元旦」期间，该超市对甲、乙两种商品进行如下优惠活动：

按上述优惠条件，若小张第一天只购买甲种商品一次性付款 210 元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款 440 元，那么小张这两天在该超市购买甲、乙两种商品一共多少件？

每件利润：甲 $35 - 20 = 15$ 元，乙 $50 - 30 = 20$ 元。

设购进甲 $x$ 件，乙 $(100 - x)$ 件：

15x + 20(100 - x) = 1800

2000 - 5x = 1800 \implies x = 40

答案：购进甲种商品 40 件、乙种商品 60 件。

验算： $15 \times 40 + 20 \times 60 = 600 + 1200 = 1800$ ✓

第一天买甲，付 210 元。

210 元 ≤ 300 元，若不打折，原价就是 210 元——检验： $210 \div 35 = 6$ 件，整数 ✓。

（另一种可能：原价超 300 打九折后付 210？那原价 $210 \div 0.9 = 233.3$ 元，不超过 300，自相矛盾，排除。）

第二天买乙，打折后付 440 元。 分档讨论原价 $P$ ：

九折档： $P = 440 \div 0.9 = 488.9$ 元。在 $(300, 500]$ 内 ✓，但 $488.9$ 不是乙售价 50 的整数倍 ✗ 排除
八折档： $P = 440 \div 0.8 = 550$ 元。 $550 > 500$ ✓，且 $550 \div 50 = 11$ 件，整数 ✓ 成立

所以第二天买乙 11 件。

合计：

6 + 11 = 17 \text{（件）}

答案：小张两天一共购买甲、乙两种商品 17 件。