甲乙相向而行的 s-t 图像三问（变量间关系）

题目

甲骑自行车以 20 千米/时的速度从 A 地去 B 地，乙骑摩托车沿同一路线从 B 地去 A 地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止。甲、乙两人之间的距离 $s$（千米）与甲行驶的时间 $t$（时）之间的关系如图所示（图中特征点：$M(2, 0)$、$N(m, 60)$、$P(6, 120)$，纵轴最高 120）。（9 分）

(1) A、B 两地之间的路程为 ______ 千米；

(2) 求乙的速度和 $m$ 的值；

(3) 求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距 40 千米。

最关键的思路

读 s-t 图先抓特征点的实际含义：

• 起点 $(0, 120)$：出发时两人相距 = 全程
• $M(2, 0)$：$s = 0$ 即相遇，用时 2 小时
• $N(m, 60)$：折线斜率改变——乙到达 A 停下，此后只有甲在动
• $P(6, 120)$：甲到达 B（$120 \div 20 = 6$ 对得上），两人分处两端又相距 120

联动演示

拖动时间轴，上方看两人在路上的位置，下方看 $s$-$t$ 折线同步走到哪：

解答过程

第 (1) 问： 出发瞬间 $s$ = 全程 = 120 千米。

第 (2) 问：求乙的速度和 m。

$M(2,0)$：两人 2 小时相遇，合走全程：

$$(20 + v_乙) \times 2 = 120 \implies v_乙 = 40 \text{（千米/时）}$$

$N$ 点是乙到达 A 的时刻：

$$m = 120 \div 40 = 3$$

核对 $N$ 的纵坐标：$t=3$ 时甲走了 60 千米、乙已到 A（甲的出发地），两人相距 $60$ 千米，与图中 $N(3, 60)$ 一致 ✓

第 (3) 问：相距 40 千米，分段讨论。

• 相遇前（$0 \le t \le 2$）：$s = 120 - (20+40)t = 120 - 60t$

$$120 - 60t = 40 \implies t = \frac{4}{3} \text{（时）}$$

• 相遇后、乙到 A 前（$2 < t \le 3$）：$s = 60t - 120$

$$60t - 120 = 40 \implies t = \frac{8}{3} \text{（时）}$$

• 乙停后（$3 < t \le 6$）：只有甲在走，$s = 20t$，最小值 $s(3)=60 > 40$，无解

答案：(1) 120 千米；(2) 乙的速度 40 千米/时，$m = 3$；(3) 甲出发 $\dfrac{4}{3}$ 小时或 $\dfrac{8}{3}$ 小时后两人相距 40 千米。

验算

• $t = \frac{4}{3}$：甲走 $\frac{80}{3}$、乙走 $\frac{160}{3}$，合走 80，距离 $120-80 = 40$ ✓
• $t = \frac{8}{3}$：合走 160，超出全程 40，即相遇后又拉开 40 ✓
• 第三段确认：$s = 20t$ 在 $(3,6]$ 上取值 $(60,120]$，永远大于 40，确实无解 ✓

方法总结

1. s-t 折线的每个拐点都对应一个事件（相遇、某人到达终点），先把事件对号入座再列式
2. 「相距 40」这类问题必须分段讨论，每段用当段的表达式解，解出来还要检查是否落在该段区间内
3. 相遇前 $s = L - (v_1+v_2)t$，相遇后 $s = (v_1+v_2)t - L$，一人停后斜率只剩单人速度——斜率就是「距离变化的速度」