猎狗追兔——步数、步幅的双重换算

题目

一只猎狗追赶前方 30 米处的兔子。猎狗步子大，它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步；但兔子动作快，猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步。猎狗至少要跑出多少米才能追上兔子？

追及问题的核心是比速度，而这里的速度藏在两句换算里：

一句管步幅（一步多长）：猎狗 4 步 = 兔子 7 步的路程；

一句管步频（单位时间几步）：同一段时间里猎狗 3 步、兔子 4 步。

速度 = 步幅 × 步频。把两句都化成「同一把尺子」，速度之比立刻出来。

第一步：定步幅。 由「猎狗 4 步的路程 = 兔子 7 步的路程」，两边路程相等：

4 \times \text{猎狗步幅} = 7 \times \text{兔子步幅}

为让数字取整，设 猎狗每步长 $7$ 、兔子每步长 $4$ （这样 $4\times7 = 7\times4$ ，恰好相等）。

第二步：算单位时间的路程（速度）。 取「猎狗跑 3 步的时间」为 1 个时间单位，此间猎狗 3 步、兔子 4 步：

v_{猎} = 7 \times 3 = 21, \qquad v_{兔} = 4 \times 4 = 16

所以 $v_{猎} : v_{兔} = 21 : 16$ 。

第三步：追及。 两者同时同向，速度差追 30 米的差距。设猎狗跑的路程为 $S$ ，同一时间兔子跑 $S - 30$ ，路程之比 = 速度之比：

\frac{S}{S-30} = \frac{21}{16}

16S = 21(S-30) \implies 5S = 630 \implies S = 126 \text{（米）}

答案：猎狗至少要跑出 126 米才能追上兔子。