8 点后——从"成一条直线"到"重合"用了多久

题目

晚上 8 时刚过一会儿，小东开始做作业。一看钟表，时针与分针正好在一条直线上；做完作业再看钟表，还不到 9 时，而且分针与时针恰好重合。小东做作业用了多长时间？

最关键的思路

钟表问题就是环形追及：

• 分针每分钟走 $6°$，时针每分钟走 $0.5°$，分针每分钟追上时针 $5.5°$；
• 8:00 整，时针在 $240°$（8×30°）、分针在 $0°$，分针落后时针 $240°$；
• "成一条直线"= 两针相差 $180°$，"重合"= 相差 $0°$。

把两个时刻各自的追赶角度算出来，相减就是做作业的时间。

联动演示

拖动时间轴（从 8:00 起的分钟数），或直接点按钮跳到两个关键时刻：

解答过程

设从 8:00 起经过 $t$ 分钟。分针相对时针多走的角度为 $5.5t$ 度。

时刻一：成一条直线（相差 $180°$）。 8:00 时分针落后 $240°$，要把差距从 $240°$ 变成"相差 $180°$"，即分针再追上 $240° - 180° = 60°$：

$$5.5\, t_1 = 60 \implies t_1 = \frac{60}{5.5} = \frac{120}{11} \text{（分）}$$

时刻二：重合（相差 $0°$）。 分针要把 $240°$ 的落后全部追平：

$$5.5\, t_2 = 240 \implies t_2 = \frac{240}{5.5} = \frac{480}{11} \text{（分）}$$

做作业时间：

$$t_2 - t_1 = \frac{480}{11} - \frac{120}{11} = \frac{360}{11} = 32\frac{8}{11} \text{（分）}$$

答案：小东做作业用了 $\dfrac{360}{11} = 32\dfrac{8}{11}$ 分钟（约 32 分 44 秒）。

验算

• $t_1 = \dfrac{120}{11} \approx 10.9$ 分：分针 $6t_1 = \dfrac{720}{11}\approx65.5°$，时针 $240 + 0.5t_1 \approx 245.5°$，相差约 $180°$ ✓（8:10 出头，两针确实一条直线）。
• $t_2 = \dfrac{480}{11} \approx 43.6$ 分：分针 $\dfrac{2880}{11}\approx261.8°$，时针 $240 + 0.5t_2 \approx 261.8°$，重合 ✓（不到 9 时 ✓）。

易错点

• 8 点时把两针差记成 $0°$：其实时针已在 $240°$，分针落后 $240°$。
• "成一条直线"只想到 $180°$ 却忘了它发生在 8 点多而非别处；先判断此刻分针在时针前还是后，本题分针在后、正在追。
• 用"分针速度 $6°$"去减时针，忘了时针也在走——一定用差速 $5.5°$/分。

方法总结

1. 钟表 = 环形追及，记牢分针追时针 $5.5°$/分。
2. 整点先定两针初始角度差（$n$ 点时时针在 $30n$ 度）。
3. 目标角度（$0°$ 重合 / $180°$ 成线 / $90°$ 垂直）转化为"分针需追多少度"，再除以 $5.5$。